Modul Deret

DERET

Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu. Bilangan-bilangan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada pola perubahan bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

Dilihat dari jumlah suku yang membentuknua, deret digolongkan atas deret berhingga dan deret tidak berhingga. Deret berhingga adalah deret ynag jumlah suku-sukunya tertentu, sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas.

a.    Deret Hitung (Deret Aritmetika)

Deret hitung adalah deret yang perubahab suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Misal:

a.       7, 12, 17, 22, 27, 32     (pembeda 5)

b.      93, 83, 73, 63, 53, 43   (pembeda -10)

1.      Suku ke-n dari Deret

Besarnya suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus.

Contoh:  7, 12, 17, 22, 27, 32

               S₁  S₂  S₃  S₄   S₅   S₆

           

            S_n = a + (n - 1) b

            Dimana:

                        a = suku pertama atau S1

                        b = Pembeda

                        n = indeks suku

            Berdasarkan rumus di atas kita dapat menghitung nilai suku tertentu.

            Sebagai contoh, hitunglah nilai suku ke-10 dari deret hitung (deret aritmetika) di atas.

            S_n = a + (n - 1) b

            S₁₀ = 7 + (10 - 1) 5

                    = 52

2.      Jumlah n suku

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S₁ atau a) sampai suku ke n (S_n) yang bersangkutan.

     

J_n =     =  S₁ + S₂ + S₃ + ... + S_n

Berdasarkan rumus Sn = a + ( n-1)b sebelumnya, maka masing-masing Si dapat diuraikan. Dengan menguraikan masing-masing Si maka Ji juga dapat diperoleh dan pada akhirnya dapat diperoleh Jn. Rumus:

Jn = na +  (n-1)b       atau  Jn =  

Rumus ini dapat disederhanakan menjadi:

            Jn =  

           

Contoh: untuk kasus deret hitung dalam 7, 12, 17, 22, 27, 32, jumlahnya smapai dengan suku ke-10 adalah:

Jn =     = 5(7+52) = 295

b.    Deret Ukur (Deret Geometrik)

Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur disedut pengganda yang merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya.

     Contoh:

1.      5, 10, 20, 40, 80, 160             (pengganda 2)

2.      512, 256, 128, 64, 32, 16      (pengganda 0.5)

1.      Suku ke n dari deret ukur

Untuk dapat menghitung suku tertentu dari sebuah deret ukur dengan menggunakan rumus:

                S_n =  ap^n-1

      Dimana:

a = suku pertama

p = pengganda

n = indeks suku

Contoh:

Berdasarkan contoh di atas, carilah S10 nya.

1.      S₁₀ = (5)(2)^10-1 = (5)(2)⁹ = 2560

2.      S₁₀ = (512)(0.5)^10-1 = (512)(0.5)⁹ = (512)(1/512) = 1

2.      Jumlah n Suku

Jumlah n suku adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke n yang bersangkutan.

    J_n =     =  S₁ + S₂ + S₃ + ... + S_n

Berdasarkan S_n =  ap^n-1, maka masing-masing Si dapat dijabarkan sehingga:

J_n = a +ap + ap² + ... + ap^n-2 + ap^n-1  ..........................(1)

Jika persamaan di atas kita kalikan dengan bilangan pengganda p, maka:

 pJ_n = ap + ap² + ap³ + ... + ap^n-1 + apⁿ  ..........................(1)

dengan mengurangkan persamaan I dan II, diperoleh selisih antara kedua persamaan ini.

     J_n – pJ_n = a – apⁿ

     J_n(1-p) = a (1-pⁿ)

Dari sini, kita dapat membentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke n, yakni:

             a(1-pⁿ)                    a(pⁿ-1) 

    J_n =                  atau J_n =

              1  -  p                        p - 1

Dalam hal | p| < 1, penggunaan rumus yang disebelah kiri akan lebih mempermudah hitungan. Di lain pihak jika | p| > 1, perhitungan akan menjadi lebih mudah dengan menggunakan rumus yang di sebelah kanan.

Untuk kasus deret ukur dalam contoh di atas, dimana a = 5 dan p =2, jumlahnua sampai suku ke 10 adalah:

             5(2¹⁰-1)                    5(1023) 

    J₁₀ =                        =                         =   5115

              2  -  1                       1

Contoh Soal:

1.      Suatu deret hitung: 5, 10, 15, 20, 25

Berapa besarnya nilai ke 10 dan besarnya nilai deret sampai suku ke-10

jawab:

Nilai   a=5; b=5; n=10

Besarnya suku ke 10 = S₁₀ = a + (n-1)b

S ₁₀ = 5 + (10-1)5 = 5 + 45 = 50

Besarnya nilai deret sampai suku ke 10:

Jn =  

J10 = 10/2 (5+50) = 5 (55) = 275

2.      Apabila besarnya suku ke 3 (S3) suatu deret hitung adalah 50 dan suku ke 7 (S7) adalah 70. Berapakah besarnya suku ke 2, suku ke 15 dan jumlah nilai deret tersebut sampai sukuk ke 11?

Jawab:

b = 5

a = 40

S₂ = 45

S ₁₅ = 110

Nilai deret sampai suku ke 11 (D ₁₁) = 715

3.      Suku ketiga deret ukur adalah 800 dan suku ketujuhnya adalah 204.800.

Carilah:

a.       Besarnya nilai a  dan p

b.      Besarnya suku ke 5 (S₅) dan jumlah deret sampai suku ke 5 (D₅)

Jawab:

a.       S₃ = 800   dan   S₇ = 204.800

S₃ = a.p^3-1  =  800 

ap² = 800

a = 800/p²

S₇ = a.p^7-1 = 204.800

ap⁶ = 204.800 

a =800/p² = 204.800/p⁶

800p⁶ = 204.800p²

p⁶/p² = 204.800/800

p⁴ = 256

p⁴ =4⁴ 

P= 4

b.      S_n = a.p^n-1

S₅ = 50.45-1 = 12.800

D ₅ = 17.050